Un percorso esaustivo ma user-friendly
La seconda edizione del Compendio, riveduta nei contenuti e nella grafica, è indirizzata agli studenti dei corsi di laurea in Economia.
Senza nulla togliere al rigore delle definizioni, della simbologia e delle relazioni logico-matematiche, l’autore privilegia un’esposizione prevalentemente verbale, ricorrendo a numerose figure e facendo frequente riferimento alle concrete applicazioni economiche. In tal senso, l’opera si pone a metà strada fra i tradizionali testi di Matematica per l’Economia e i testi di Economia ed ha l’obiettivo di fornire allo studente strumenti utili alle applicazioni tipiche della microeconomia.
L’argomento principe è l’ottimizzazione, a cui sono dedicati i capitoli 6 e 7 della Parte I e l’intera Parte III. I rimanenti capitoli hanno soprattutto lo scopo di introdurre le nozioni necessarie alla discussione e alla soluzione di problemi di ottimo.
Indice
Prefazione dell’autore alla seconda edizione
I Funzioni di una variabile
1 Richiami su alcuni concetti di base
1.1 Insiemi
1.2 I numeri
1.3 Sottoinsiemi importanti di R
1.4 Funzioni
1.4.1 Funzioni elementari
1.4.2 Funzioni implicite
1.5 Funzioni invertibili
1.5.1 Funzioni monotone e invertibilità
1.5.2 Forme implicite e invertibilità
1.6 Funzioni composte
1.7 Funzione potenza
1.8 Funzioni esponenziale e logaritmo
2 Calcolo differenziale
2.1 Tasso (istantaneo) di variazione per funzioni lisce
2.2 Alcune applicazioni della derivata
2.3 Un esempio: la strategia di una grande azienda
2.3.1 I dati del problema
2.3.2 L’obiettivo dell’azienda
2.3.3 Procedere “per tentativi”: un senso d’insicurezza e frustrazione
2.3.4 Verso la nozione di derivata
2.4 La derivata
2.4.1 Punti interni
2.4.2 Retta secante il grafico di una funzione liscia e rapporto incrementale
2.4.3 Retta tangente e limite del rapporto incrementale
2.4.4 La definizione di derivata in un punto
2.5 Derivate delle funzioni elementari
2.5.1 Derivata della funzione costante
2.5.2 Derivata della funzione identica
2.5.3 Derivata della funzione affine (retta)
2.5.4 Derivata della funzione quadrato
2.5.5 Derivata della funzione cubo
2.5.6 Derivata della funzione potenza a esponente naturale
2.5.7 Derivata della funzione potenza a esponente reale
2.5.8 Derivata delle funzioni esponenziale e logaritmo naturale
2.6 Regole di derivazione
2.6.1 Derivata del prodotto costante × funzione
2.6.2 Derivata della somma di funzioni
2.6.3 Derivata del prodotto di funzioni
2.6.4 Derivata del reciproco di una funzione
2.6.5 Derivata del rapporto tra funzioni
2.6.6 Derivata della funzione composta
2.7 Tabelle riassuntive
2.8 Esempi ed esercizi
2.9 Derivata seconda
3 Approfondimenti
3.1 Approssimazione locale di funzioni
3.1.1 Il differenziale
3.1.2 Il polinomio di Taylor
3.2 Derivata e monotonia
3.2.1 Condizioni di monotonia
3.2.2 Esempi
3.2.3 Studio del segno della derivata
3.3 Limiti
3.3.1 L’approccio intuitivo
3.3.2 Punti di accumulazione
3.3.3 La definizione di limite
3.4 Funzioni continue
3.4.1 Continuità, monotonia e invertibilità
3.4.2 Continuità e derivabilità
4 Applicazioni economiche
4.1 Il concetto di marginalità in economia
4.1.1 Costo marginale
4.1.2 Prodotto marginale
4.1.3 Ricavo e profitto marginale
4.1.4 Utilità marginale
4.1.5 Il differenziale in economia
4.2 Tassi di crescita
4.2.1 Tasso medio di crescita
4.2.2 Tasso istantaneo di crescita
4.2.3 Capitalizzazione continua e tasso d’interesse istantaneo
4.2.4 Derivata logaritmica e tasso istantaneo di crescita
4.3 Elasticità di una funzione
4.3.1 Elasticità intervallare
4.3.2 Elasticità puntuale
4.3.3 L’elasticità puntuale della curva di domanda
4.3.4 Derivata logaritmica ed elasticità puntuale
5 Calcolo integrale
5.1 Integrale indefinito
5.1.1 La costante di integrazione
5.1.2 Integrazione e regola della catena
5.1.3 Integrazione per sostituzione
5.1.4 Integrazione per parti
5.2 Integrale definito
5.2.1 Somme di Riemann
5.2.2 Proprietà dell’integrale definito
5.3 Teorema fondamentale del calcolo integrale
5.4 Applicazioni economiche
5.4.1 Flussi di cassa
5.4.2 Surplus del consumatore e del produttore
6 Ottimizzazione in una variabile
6.1 Cos’è un problema di ottimo?
6.1.1 Un esempio
6.1.2 Vincolo e restrizione
6.1.3 E il minimo?
6.1.4 Esistenza di massimi e minimi: alcuni esempi
6.1.5 Unicità del massimo e minimo globali
6.2 Massimi e minimi assoluti (globali) e relativi (locali)
6.2.1 Massimi e minimi assoluti
6.2.2 Massimi e minimi relativi
6.2.3 Relazione fra problemi di massimo e problemi di minimo
6.3 Esistenza del massimo e minimo assoluto
6.4 Caratterizzazione dei punti estremi interni: condizioni necessarie del primo ordine
6.5 Metodo diretto per la ricerca di estremi assoluti
6.6 Studio del segno della derivata seconda per la ricerca di estremi relativi interni
6.6.1 Condizioni sufficienti del secondo ordine
6.6.2 Punti estremi e polinomio di Taylor
6.6.3 Un metodo per gli estremi relativi
7 Raffinamenti e applicazioni economiche
7.1 Funzioni obiettivo concave (convesse)
7.1.1 Definizione e caratterizzazione della concavità/convessità
7.1.2 L’ipotesi di concavità in economia
7.1.3 Concavità/convessità e ottimizzazione: unicità del punto estremo assoluto
7.2 Segno della derivata prima e punti estremi
7.2.1 Studio dei punti di frontiera
7.2.2 Ottimizzazione su insiemi non limitati
7.3 Un’applicazione economica: la massimizzazione del profitto
7.3.1 Concorrenza perfetta
7.3.2 Impresa monopolistica
7.3.3 Un metodo unificato per risolvere problemi di massimo profitto
7.3.4 Esempi ed esercizi
7.4 Un metodo generale di riepilogo
II Funzioni di più variabili
8 Vettori e funzioni di più variabili
8.1 Punti nello spazio euclideo: i vettori
8.2 Operazioni fra vettori
8.2.1 Somma di vettori
8.2.2 Moltiplicazione scalare
8.2.3 Prodotto scalare
8.3 Norma, versori e distanza euclidea
8.4 Sottoinsiemi particolari di Rn
8.4.1 Elementi di topologia
8.4.2 Insiemi convessi
8.5 Funzioni reali di n variabili
8.5.1 Esempi economici
8.5.2 Campi di esistenza
8.5.3 Funzioni di due variabili e loro grafico
9 Matrici e loro proprietà
9.1 Definizione di matrice
9.2 Operazioni fra matrici
9.2.1 Somma di matrici
9.2.2 Moltiplicazione per uno scalare
9.2.3 Prodotto fra matrici
9.2.4 Matrice trasposta
9.3 Matrici particolari
9.4 Matrici, sistemi lineari e funzioni (vettoriali) lineari
9.4.1 Sistemi di equazioni lineari
9.4.2 Funzioni vettoriali
9.4.3 Funzioni lineari
9.4.4 Matrici non singolari e funzioni lineari invertibili
9.4.5 Matrici quadrate e matrice inversa
9.5 Il determinante
9.5.1 Costruzione del determinante
9.5.2 Interpretazione grafica del determinante
9.5.3 Proprietà del determinante
9.5.4 Calcolo della matrice inversa
9.5.5 Rango di una matrice
10 Calcolo differenziale in più variabili
10.1 Derivata e differenziale
10.1.1 Derivate parziali
10.1.2 Il differenziale
10.1.3 Approssimazione lineare e differenziale
10.2 Derivata seconda e matrice Hessiana
10.3 Approssimazione non lineare
10.3.1 Forme quadratiche
10.3.2 Forme quadratiche definite da matrici Hessiane
10.3.3 Il polinomio di Taylor
10.4 Aspetti peculiari delle funzioni differenziabili
10.4.1 Funzione composta e regola della catena
10.4.2 Derivata direzionale
10.4.3 Gradiente e direzione di massima pendenza
III Ottimizzazione
11 Ottimizzazione libera
11.1 Massimi e minimi assoluti e relativi
11.2 Caratterizzazione dei punti estremi interni: condizioni necessarie del primo ordine
11.3 Punti estremi interni e polinomio di Taylor
11.4 Forme quadratiche
11.4.1 Curvatura delle forme quadratiche di due variabili
11.4.2 Natura delle forme quadratiche
11.4.3 Segno della matrice che definisce una forma quadratica
11.5 Condizioni sufficienti del secondo ordine
11.6 Funzioni obiettivo concave (convesse)
11.6.1 Definizione di concavità/convessità
11.6.2 Caratterizzazione per funzioni differenziabili
11.6.3 Altre condizioni sufficienti
11.7 Concavità/convessità e punto estremo assoluto
12 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza
12.1 Funzioni implicite
12.1.1 Curve di livello
12.1.2 Il Teorema della funzione implicita
12.1.3 Punti regolari e punti singolari
12.1.4 Curve di livello e gradiente
12.1.5 Funzioni implicite nel caso di n variabili
12.2 Il problema vincolato in due variabili
12.2.1 Interpretazione geometrica dei punti di ottimo vincolato
12.2.2 Metodo per sostituzione
12.2.3 Il Teorema di Lagrange in due variabili
12.2.4 Il moltiplicatore di Lagrange
12.2.5 Metodo del Lagrangiano per problemi con vincolo compatto
12.3 Il problema vincolato in n variabili
12.3.1 Vincoli definiti da più uguaglianze
12.3.2 Vincoli regolari
12.3.3 Il Teorema di Lagrange in n variabili
13 Ottimizzazione vincolata II: vincoli di disuguaglianza
13.1 Definizione del problema
13.2 Vincoli espressi da disuguaglianze
13.2.1 Vincoli convessi
13.2.2 Frontiera del vincolo e gradiente
13.2.3 Qualificazione dei vincoli attivi
13.3 Punti di Kuhn-Tucker
13.3.1 Vincoli definiti da una sola disuguaglianza
13.3.2 Vincoli definiti da m disuguaglianze
13.3.3 Un esempio in una sola variabile
13.3.4 Il metodo e alcuni esempi
14 Applicazioni economiche
14.1 Funzioni di n variabili in economia
14.1.1 Ordine parziale in Rn e monotonia delle funzioni di n variabili
14.1.2 L’ipotesi di concavità in economia
14.2 Funzioni implicite in economia
14.2.1 Isoquanti e saggio marginale di sostituzione
14.2.2 Preferenze, funzione di utilità e curve di indifferenza
14.2.3 Elasticità di sostituzione
14.2.4 Statica comparata: l’equilibrio di mercato
14.3 Massimizzazione del profitto
14.3.1 Concorrenza perfetta
14.3.2 Discriminazione del prezzo da parte di un monopolista
14.4 Il problema del consumatore
14.4.1 Non sazietà nei consumi e soluzione standard
14.4.2 Il vincolo di bilancio
14.4.3 Esempi ed esercizi
14.5 Ancora sulla produzione ottima
14.5.1 Vincolo sui costi
14.5.2 Minimizzazione dei costi
14.6 Funzione valore e moltiplicatore di Lagrange
Soluzioni degli esercizi
Bibliografia
Indice analitico