Manuale completo per la prova scritta e orale Calcolo delle probabilità Teoria delle variabili aleatorie Modelli per variabili aleatorie discrete e continue Campionamento e distribuzioni campionarie Teoria della stima Test parametrici e non parametrici Controllo della qualità – Esercizi svolti e commentati Prove scritte assegnate Test a scelta multipla e vero/falso
Il presente volume è destinato agli studenti delle facoltà di Economia, Scienze statistiche e Ingegneria, che devono sostenere l’esame di Statistica generale, nonché quello di Calcolo delle probabilità. Il testo è suddiviso in due parti.
La prima, Probabilità e Statistica, offre una panoramica sintetica ma esaustiva degli argomenti e dei concetti fondamentali della materia. In particolare, vengono affrontati elementi di calcolo delle probabilità, la teoria delle variabili aleatorie, in generale, e delle variabili aleatorie discrete e continue (utilizzate come modelli di processi produttivi), in particolare. Segue poi lo studio sperimentale delle variabili aleatorie, nonché lo studio dei principali strumenti di statistica induttiva: stima, test d’ipotesi parametrici e non parametrici. Chiudono le tecniche statistiche utilizzate nel controllo di processo.
Ad integrazione dei capitoli sono stati riportati numerosi esempi su fogli di lavoro in Excel.
La seconda parte del volume, Esercizi svolti di Probabilità e Statistica, è destinata a preparare lo studente alla prova scritta di Statistica e Calcolo delle probabilità, offrendo una vasta selezione di esercizi svolti e commentati. Ogni esercizio è preceduto da un momento di ripasso degli argomenti: brevi richiami alla teoria precedono lo svolgimento e il commento di ogni esercizio. Tra questi, alcuni costituiscono la riproduzione di questi effettivamente somministrati nel corso degli anni in diversi atenei (le cosiddette "prove storiche"), ma la maggior parte sono elaborazioni originali con diverso grado di difficoltà.
Al fine di rafforzare la preparazione in previsione della prova orale, in questa parte sono poi proposti, per ogni argomento, una serie di domande a risposta multipla e test di verifica (vero/falso).
Il testo, per il sapiente accostamento di esempi applicativi agli argomenti della teoria e per la chiarezza con cui sono esposti i concetti fondamentali, costituisce, dunque, uno strumento originale e utilissimo per la preparazione dell’esame di Statistica e Calcolo delle probabilità.
Probabilità e statistica
Teoria
1 Elementi di calcolo delle probabilità
1. Introduzione
2. Evoluzione storica della statistica
3. Eventi ed algebra di Boole
3.1 Unione (somma logica)
3.2 Negazione
3.3 Intersezione (prodotto logico)
3.4 Partizione di
4. Definizioni alternative della probabilità
4.1 Definizione classica
4.2 Definizione frequentista
4.3 Definizione soggettivista
5. Assiomatizzazione del calcolo delle probabilità
6. Probabilità condizionata
6.1 Albero degli eventi
6.2 Affidabilità
7. Partizione di eventi e regola di Bayes
8. Teorema di Bayes
9. Richiami di calcolo combinatorio
2 Teoria delle variabili aleatorie
1. Introduzione
2. Variabili aleatorie discrete e continue
2.1 Funzione di ripartizione
2.2 Funzione di rischio
3. Variabili aleatorie multivariate
3.1 Variabili aleatorie marginali e condizionate
3.2 Indipendenza tra variabili aleatorie
4. Trasformazioni di variabili aleatorie
5. Valore medio di variabili aleatorie
5.1 Valore medio di una v.a. multivariata
5.2 Proprietà del valore medio
5.3 Valori medi condizionati
6. Moda e mediana di variabili aleatorie
7. Varianza di variabili aleatorie
7.1 Proprietà della varianza
7.2 Varianza condizionata
8. Asimmetria e curtosi di variabili aleatorie
8.1 Asimmetria
8.2 Curtosi
9. Momenti di variabili aleatorie
9.1 Momenti r – esimi
9.2 Momenti r – esimi rispetto al valore medio
9.3 Momenti r – esimi standardizzati
10. Funzione generatrice dei momenti
11. Covarianza e coefficiente di correlazione lineare
11.1 Covarianza
11.2 Coefficiente di correlazione
12. Analisi della dipendenza e regressione
12.1 Metodo dei minimi quadrati
12.2 Indice R2 di determinazione lineare
13. Disuguaglianza di Chebyshev
14. Criteri di convergenza di successioni di variabili aleatorie
15. Modelli per variabili aleatorie discrete e continue
Utilizzo dei fogli elettronici in statistica
Retta di regressione
3 Modelli per variabili aleatorie discrete
1. Introduzione
2. La variabile aleatoria uniforme discreta
3. La variabile aleatoria di Bernoulli
4. La variabile aleatoria binomiale
5. La variabile aleatoria ipergeometrica
6. La variabile aleatoria geometrica
7. La variabile aleatoria binomiale negativa
8. La variabile aleatoria di Poisson
Utilizzo dei fogli elettronici in statistica
Variabile aleatoria binomiale
Variabile aleatoria ipergeometrica
Variabile aleatoria di Poisson
4 Modelli per variabili aleatorie continue
1. Introduzione
2. La variabile aleatoria uniforme continua
3. La variabile aleatoria esponenziale negativa
4. La variabile aleatoria Gamma
5. La variabile aleatoria normale
5.1 Utilizzo della Tavola 1 in Appendice
6. Variabili aleatorie dedotte dalla normale: chi – quadrato, t di Student, F di Fisher, lognormale
6.1 La variabile aleatoria chi – quadrato
6.2 La variabile aleatoria t di Student
6.3 La variabile aleatoria F di Fisher
6.4 La variabile aleatoria lognormale
7. La variabile aleatoria normale bivariata
8. Leggi dei grandi numeri
8.1 Leggi deboli dei grandi numeri
8.2 Leggi forti dei grandi numeri
9. Teorema limite centrale
Utilizzo dei fogli elettronici in statistica
Variabile aleatoria esponenziale negativa
Variabile aleatoria normale standardizzata
Variabile aleatoria chi-quadrato
Variabile aleatoria t di Student
Variabile aleatoria F di Fisher
5 Studio sperimentale di variabili aleatorie. Distribuzioni campionarie
1. Introduzione
2. Campioni casuali semplici con e senza ripetizione
3. Altre procedure di campionamento
3.1 Campionamento probabilistico
3.2 Campionamento non probabilistico
4. Statistiche campionarie e distribuzioni campionarie
4.1 Distribuzione della media campionaria
4.2 Distribuzione della varianza campionaria
4.3 Distribuzione delle differenze delle medie campionarie
4.4 Distribuzione della proporzione (o frequenza) campionaria
4.5 Distribuzione delle differenze delle proporzioni campionarie
4.6 Distribuzione del coefficiente di correlazione campionario
5. Gli errori
6 Teoria della stima
1. Introduzione
2. Proprietà ottimali di uno stimatore
2.1 Correttezza
2.2 Consistenza
2.3 Efficienza
2.4 Sufficienza
2.5 Normalità asintotica
3. Metodi di stima
3.1 Metodo dei minimi quadrati
3.2 Metodo dei momenti
3.3 Metodo della massima verosimiglianza
4. Intervalli di confidenza e determinazione della numerosità del campione
4.1 Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza nota
4.2 Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza non nota
4.3 Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali con varianza nota
4.4 Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali con varianza non nota
4.5 Intervallo di confidenza per la proporzione di una popolazione normale
4.6 Intervallo di confidenza per la differenza tra le proporzioni di due popolazioni normali
4.7 Intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione normale
4.8 Intervallo di confidenza per il rapporto tra le varianze di due popolazioni normali
5. Stima dei coefficienti di regressione
6. Metodo Monte Carlo
6.1 Numeri pseudo – casuali
6.2 Applicazione del metodo Monte Carlo
Utilizzo dei fogli elettronici in statistica
Varianza campionaria corretta
Intervallo di confidenza
7 Test delle ipotesi statistiche. Test parametrici
1. Introduzione
2. I test statistici
3. Test sulla media di una popolazione con varianza nota. Test normale
4. Test sulla media di una popolazione con varianza non nota. Test t di Student
5. Test sulla varianza di una popolazione. Test chi – quadrato
6. Test sulla differenza tra le medie di due popolazioni se sono note le varianze
Test normale
7. Test sulla differenza tra le medie di due popolazioni se non sono note le varianze. Test t di Student
8. Test sulla differenza tra medie per campioni appaiati. Test t di Student
9. Test sul rapporto tra varianze. Test F di Fisher
10. Analisi della varianza (Anova). Test F di Fisher
11. Test sul coefficiente di correlazione. Test t di Student
12. Test sui coefficienti di regressione
Utilizzo dei fogli elettronici in statistica
Test t: due campioni accoppiati per medie
Analisi della varianza
8 Test non parametrici
1. Introduzione
2. Test su frequenze. Test binomiale e test normale
2.1 Test binomiale
2.2 Test normale
3. Test sulla differenza tra tendenze centrali. Test della mediana
4. Test sulla differenza tra tendenze centrali per campioni appaiati. Test dei segni
5. Test sulla differenza tra frequenze
6. Test sulla differenza tra frequenze per campioni appaiati. Test di McNemar
7. Test sulla indipendenza. Test chi – quadrato e test esatto di Fisher
7.1 Test chi – quadrato
7.2 Test esatto di Fisher
9 Controllo della qualità
1. Introduzione
1.1 Regola del tre – sigma e errori di I e II tipo
2. Carte di controllo per variabili
2.1 Carta di controllo X
2.2 Carta di controllo S
3. Carte di controllo per attributi
3.1 Carta di controllo p
3.2 Carta di controllo c
4. Carte di controllo CuSum
Probabilità e statistica
Esercizi
1 Elementi di calcolo delle probabilità
Sezione Prima: Insiemi e probabilità
Teoria della probabilità
Prova
Estrazione
Evento
Spazio campione
Eventi e insiemi
Unione (somma logica) di eventi
Negazione di eventi
Intersezione (prodotto logico) di eventi
Partizione di Ω
Definizione classica di probabilità
Definizione frequentista di probabilità
Definizione soggettivista di probabilità
Assiomatizzazione del calcolo delle probabilità
Probabilità condizionata
Albero degli eventi
Affidabilità
Regola di Bayes (o regola della fattorizzazione)
Teorema delle probabilità totali
Teorema di Bayes
Sezione Seconda: Richiami di calcolo combinatorio
Disposizioni senza ripetizione
Disposizioni con ripetizione
Permutazioni
Combinazioni senza ripetizione
Combinazioni con ripetizione
Prove scritte assegnate
Quesiti a scelta multipla
Risposte
Ulteriori quesiti a scelta multipla
Test di verifica (Vero/Falso)
2 Teoria delle variabili aleatorie
Sezione Prima: Variabili aleatorie
Variabile aleatoria
Variabile aleatoria discreta
Variabile aleatoria continua
Funzione di ripartizione
Funzione di rischio
Sezione Seconda: Variabili aleatorie multivariate
Variabili aleatorie multivariate
Variabile aleatoria discreta multivariata
Variabile aleatoria continua multivariata
Variabili aleatorie marginali
Variabili aleatorie condizionate
Distribuzione doppia: caso discreto
Indipendenza tra variabili aleatorie
Trasformazioni di variabili aleatorie
Sezione Terza: Momenti di variabili aleatorie
Valore medio di variabili aleatorie
Valore medio di una v.a. multivariata
Valori medi condizionati
Moda di variabili aleatorie
Mediana di variabili aleatorie
Varianza di variabili aleatorie
Varianza condizionata
Asimmetria di variabili aleatorie
Curtosi di variabili aleatorie
Momenti di variabili aleatorie
Momenti r – esimi
Momenti r – esimi rispetto al valore medio
Momenti r – esimi standardizzati
Funzione generatrice dei momenti
Sezione Quarta: Relazioni tra variabili aleatorie
Covarianza
Combinazione lineare di variabili aleatorie
Coefficiente di correlazione
Analisi della regressione
Retta di regressione
Metodo dei minimi quadrati
Indice di determinazione lineare
Disuguaglianza di Chebyshev
Prove scritte assegnate
Quesiti a scelta multipla
Risposte
Ulteriori quesiti a scelta multipla
Test di verifica (Vero/Falso)
3 Modelli per variabili aleatorie
Sezione Prima: Variabili aleatorie discrete
Variabile aleatoria uniforme discreta
Variabile aleatoria di Bernoulli
Variabile aleatoria binomiale
Variabile aleatoria ipergeometrica
Variabile aleatoria geometrica
Variabile aleatoria binomiale negativa
Variabile aleatoria di Poisson
Sezione Seconda: Variabili aleatorie continue
Variabile aleatoria uniforme continua
Variabile aleatoria esponenziale negativa
Variabile aleatoria Gamma
Variabile aleatoria normale
Variabile aleatoria normale standardizzata
Variabile aleatoria chi – quadrato
Variabile aleatoria t di Student
Variabile aleatoria F di Fisher
Variabile aleatoria normale bivariata
Successioni di variabili aleatorie
Convergenza in distribuzione
Convergenza in probabilità
Convergenza in media quadratica
Convergenza quasi certa
Leggi dei grandi numeri
Teorema limite centrale
Teorema limite centrale (De Moivre – Laplace)
Applicazioni del teorema limite centrale
Prove scritte assegnate
Quesiti a scelta multipla
Risposte
Ulteriori quesiti a scelta multipla
Test di verifica (Vero/Falso)
4 Studio sperimentale di variabili aleatorie. Distribuzioni campionarie
Sezione Prima: Universo dei campioni
Campionamento
Campionamento casuale semplice
Campioni ordinati e non ordinati
Universo dei campioni
Sezione Seconda: Distribuzioni campionarie
Statistiche e parametri
Distribuzione campionaria
Distribuzione della media campionaria
Distribuzione della varianza campionaria
Distribuzione delle differenze delle medie campionarie
Distribuzione della proporzione (o frequenza) campionaria
Distribuzione della differenza delle proporzioni campionarie
Distribuzione del coefficiente di correlazione campionario
Quesiti a scelta multipla
Risposte
Ulteriori quesiti a scelta multipla
Test di verifica (Vero/Falso)
5 Teoria della stima
Sezione Prima: Stimatori e proprietà degli stimatori
Stimatore
Teoria della stima
Proprietà ottimali di uno stimatore
1. Correttezza
2. Consistenza
3. Efficienza
4. Sufficienza
5. Normalità asintotica
Sezione Seconda: Metodi di costruzione degli stimatori
1. Metodo dei minimi quadrati
2. Metodo dei momenti
3. Metodo della massima verosimiglianza
Sezione Terza: Intervalli di confidenza
Intervallo di confidenza
1. Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza nota
2. Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza non nota
3. Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali con varianza nota
4. Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali con varianza non nota
5. Intervallo di confidenza per la proporzione di una popolazione normale
6. Intervallo di confidenza per la differenza tra le proporzioni di due popolazioni normali
7. Intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione normale
8. Intervallo di confidenza per il rapporto tra le varianze di due popolazioni normali
9. Intervalli di confidenza per i coefficienti di regressione
Prove scritte assegnate
Quesiti a scelta multipla
Risposte
Test di verifica (Vero/Falso)
6 Test delle ipotesi statistiche. Test parametrici
Sezione Prima: Test sulla media di una popolazione con varianza nota. Test normale
Test statistico
Test parametrici e test non parametrici
Regione di accettazione
Regione critica
Probabilità dell’errore del I tipo (α)
Probabilità dell’errore del II tipo (β)
Livello di significatività del test
Test sulla media di una popolazione normale con varianza nota
Sezione Seconda: Test sulla media di una popolazione con varianza non nota. Test t di Student
Test
Sezione Terza: Test sulla varianza di una popolazione
Test chi – quadrato
Test
Sezione Quarta: Test sulla differenza tra le medie di due popolazioni se sono note le varianze. Test normale
Test
Sezione Quinta: Test sulla differenza tra le medie di due popolazioni se non sono note le varianze. Test t di Student
Test
Sezione Sesta: Test sulla differenza tra medie per campioni appaiati. Test t di Student
Campioni appaiati
Test
Sezione Settima: Test sul rapporto tra varianze. Test F di Fisher
Test
Sezione Ottava: Analisi della varianza (Anova). Test F di Fisher
Analisi della varianza
Analisi della varianza ad un fattore
Analisi della varianza a due fattori
Sezione Nona: Test sul coefficiente di correlazione
Test t di Student e test normale
Test
Sezione Decima: Test sui coefficienti di regressione. Test F di Fisher
Test
Quesiti a scelta multipla
Risposte
Test di verifica (Vero/Falso)
7 Test non parametrici
Sezione Pr ima: Test su frequenze. Test binomiale e test normale
Test non parametr ici
Test su frequenze. Test binomiale e test nor male
1. Test binomiale
2. Test nor male
Sezione Seconda: Test sulla differenza tra frequenze. Test normale
Test
Sezione Terza: Test sulla differenza tra frequenze per campioni appaiati. Test di McNemar
Test
Sezione Quarta: Test sulla indipendenza
Test chi-quadrato e test esatto di Fisher
1. Test chi-quadrato
2. Test esatto di Fisher
Prove scritte assegnate
Quesiti a scelta multipla
Risposte
Test di verifica (Vero/Falso)
Appendice
Tavola 1
Tavola 2
Tavola 3
Tavola 4
Tavola 4